Università degli Studi di Napoli Federico II
Scuola Politecnica e delle Scienze di Base
Dipartimento di Matematica e Applicazioni "Renato Caccioppoli"
LOGO FEDERICO II LOGO AQUILA SVEVA
Corsi di Studio in Matematica
Avvisi Presentazione Percorso di laurea Corsi Esami Strutture e Servizi Documenti Iscrizione ai corsi
Elenco Orari Archivio

Istituzioni di Geometria Superiore

Crediti: 9.

Settore scientifico-disciplinare: MAT/03 Geometria.

Obiettivi formativi: L'obiettivo del corso è fornire una introduzione alla geometria differenziale, algebrica e alla topologia algebrica. Si discuteranno i risultati più importanti in questi tre campi e si illustreranno le principali tecniche di dimostrazione e di risoluzione dei problemi.

Risultati dell'apprendimento attesi: Al termine dell'insegnamento, lo studente deve dimostrare di

Programma: Geometria differenziale. Varietà topologiche e differenziabili. Vettori tangenti. Applicazioni differenziabili: diffeomorfismi, rivestimenti, immersioni, sommersioni ed embedding. Funzioni di troncatura e partizioni dell'unità. Sottovarietà. Campi vettoriali. Curve integrali e flusso di un campo vettoriale. Fibrati vettoriali, sezioni e morfismi di fibrati. Riferimenti locali. Il fibrato cotangente. Integrali di linea. Tensori e calcolo tensoriale. Forme differenziali, orientabilità e integrazione su varietà. Complessi di R-moduli e loro coomologia, prime proprietà. Coomologia di de Rham. Lemma di Poincaré. Successione di Mayer- Vietoris. Coomologia delle sfere. Teorema della sfera irsuta. Teorema dei punti fissi di Brouwer.
Geometria algebrica. Spazio affine e chiusi algebrici. Topologia di Zariski. Anelli Noetheriani e teorema della base. Lemma di Gauss e anelli fattoriali. Teorema degli zeri. Curve piane. Punti regolari e retta tangente ad una curva. Molteplicità di una curva in un punto. Frazioni e anelli locali. Espressione asintotica della molteplicità. Molteplicità d'intersezione di due curve piane in un punto. Curve nel piano proiettivo. Teorema di Bézout.
Topologia algebrica. Categorie, funtori e trasformazioni naturali. La categoria omotopica. Retratti per deformazione e spazi contraibili. Gruppi abeliani liberi. Richiami su spazi affini e celle convesse. Catene singolari e loro omologia. Omologia e connessione per archi. Complessi di catene. Omomorfismo di connessione. Teorema Fondamentale dell'algebra omologica. Cenni su: invarianza omotopica dell'omologia, invarianza omologica dell'omotopia, teorema di escissione, teorema di Mayer-Vietoris.

Propedeuticità: Nessuna.

Modalità dell'esame: Prova orale.

Risultati di apprendimento che si intende verificare: Conoscenze e competenze acquisite sui temi del corso, la capacità di esposizione e proprietÓ di linguaggio dello studente, l'abilità nell'applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi, la capacitÓ di integrare una discussione con esempi e controesempi, la padronanza degli strumenti matematici utilizzati nel corso.

Anno Accademico 2019/2020

Docente: Guglielmo LUNARDON.

Semestre: secondo.

Programma: consultare l'apposita pagina.

Per cambiare l'anno di interesse, selezionare e premere il pulsante qui di seguito: