Istituzioni di Analisi Superiore

Crediti: 12.

Settore scientifico-disciplinare: MAT/05 Analisi Matematica.

Obiettivi formativi: Il corso presenta alcuni argomenti fondamentali dell'Analisi Matematica: introduzione alla teoria delle funzioni analitiche, teoria dell'integrazione secondo Lebesgue, serie e trasformazione di Fourier, i primi elementi di Analisi Funzionale.

Risultati dell'apprendimento attesi: Al termine dell'insegnamento, lo studente deve dimostrare di

• conoscere e comprendere le problematiche relative ad alcuni capitoli fondamentali dell'analisi matematica (variabile complessa, integrazione astratta e teoria della misura, spazi L^p, spazi di Banach e Hilbert);
• saper applicare le conoscenze acquisite allo studio e alla risoluzione di esempi concreti, utilizzando correttamente le tecniche dimostrative;
• saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
• saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Programma: Introduzione alla teoria delle funzioni di variabile complessa, funzioni olomorfe e condizione di Cauchy-Riemann, funzioni armoniche, serie di potenze e funzioni analitiche, teorema e formule di Cauchy, indefinita derivabilità e analiticità delle funzioni olomorfe, sviluppo in serie di Taylor, zeri e principi di identità, sviluppo in serie di Laurent e studio delle singolarità isolate, proprietà di media e principio di massimo modulo, teoria dei residui. Teoria della misura e integrazione astratta, passaggio al limite sotto il segno di integrale; misure di Borel positive in spazi topologici localmente compatti, teorema di rappresentazione di Riesz, teorema di Lusin; costruzione della misura di Lebesgue in Rⁿ e sue principali proprietà, insiemi non misurabili. Diseguaglianze di Jensen, Young, Hölder e Minkowski. Spazi L^p, densità della classe delle funzioni semplici e di quella delle funzioni a supporto compatto. Nozioni di convergenza per successioni di funzioni misurabili. Misure in spazi prodotto e teoremi di Tonelli e Fubini; convoluzioni. Introduzione alle misure complesse, misura variazione totale, teorema di Radon-Nikodym e decomposizione di Lebesgue, duale di L^p. Trasformazione di Fourier in L¹, e L². Introduzione all'Analisi funzionale: spazi metrici, normati, con prodotto scalare; operatori e funzionali lineari. Spazi di Hilbert: proiezione su di un convesso chiuso e su un sottospazio chiuso, rappresentazione dei funzionali lineari e continui, sistemi ortonormali, diseguaglianza di Bessel, serie di Fourier. Il teorema di Hahn-Banach e prime conseguenze: duale di uno spazio normato, biduale, convergenza debole, spazi riflessivi; separazione di insiemi convessi. Spazi di Banach: teoremi di Baire, di Banach-Steinhaus, principio di limitatezza uniforme, teorema dell'applicazione aperta, del grafico chiuso.

Propedeuticità: Nessuna.

Modalità dell'esame: Prova scritta (esercizi e problemi numerici eventualmente a risposta multipla) e prova orale.

Risultati di apprendimento che si intende verificare: Padronanza delle conoscenze, chiarezza nell'esposizione, rigore nell'uso del linguaggio, disinvoltura nell'uso delle nozioni acquisite.